Question

2．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點M（$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$），且離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，直線l過點P（3，0），且與橢圓C交于不同的A、B兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$①，將M（$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$），代入橢圓方程，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)其方程為：y=k（x-3），代入橢圓方程，由△＞0，解得：k²＜$\frac{4}{3}$，$\overrightarrow{PA}$=（x₁-3，y₁），$\overrightarrow{PB}$=（x₂-3，y₂），則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=（k²+1）[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]，由韋達(dá)定理可知，代入求得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=2+$\frac{2}{3{k}^{2}+2}$，由k的取值范圍，即可求得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍．

解答 解：（1）由已知可得：由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$①，
由點M（$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$）在橢圓上，$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{2}{^{2}}=1$②，解得：a²=6，b²=4，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$； （4分）
（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程為：x=3與橢圓無交點．
故直線l的斜率存在，設(shè)其方程為：y=k（x-3），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-3）}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3k²+2）x²-18k²x+27k²-12=0，
∵△=（18k²）²-4（3k²+2）（27k²-12）＞0，解得：k²＜$\frac{4}{3}$，
x₁+x₂=$\frac{18{k}^{2}}{3{k}^{2}+2}$，x₁x₂=$\frac{27{k}^{2}-12}{3{k}^{2}+2}$，（6分）
∵$\overrightarrow{PA}$=（x₁-3，y₁），$\overrightarrow{PB}$=（x₂-3，y₂）
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=（x₁-3）（x₂-3）+k²（x₁-3）（x₂-3），
=（k²+1）[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]
=（k²+1）（ $\frac{27{k}^{2}-12}{3{k}^{2}+2}$-$\frac{54{k}^{2}}{3{k}^{2}+2}$+9）=$\frac{6{k}^{2}+6}{3{k}^{2}+2}$
=2+$\frac{2}{3{k}^{2}+2}$，（10分）
∵0≤k²≤$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{1}{6}$＜$\frac{1}{3{k}^{2}+2}$≤$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{7}{3}$＜2+$\frac{2}{3{k}^{2}+2}$≤3，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$∈（$\frac{7}{3}$，3]．（12分）

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查計算能力，屬于中檔題．