Question

17．已知動圓過定點P（2，0），且在y軸上截得弦長為4．
（1）求動圓圓心的軌跡Q的方程；
（2）已知點E（m，0）為一個定點，過E點分別作斜率為k₁、k₂的兩條直線l₁、l₂，直線l₁交軌跡Q于A、B兩點，直線l₂交軌跡Q于C、D兩點，線段AB、CD的中點分別是M、N．若k₁+k₂=1，求證：直線MN恒過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

分析 （1）設動圓圓心為O₁（x，y），動圓與y軸交于R，S兩點，由題意，得|O₁P|=|O₁S|，由此得到$\sqrt{{x^2}+{2^2}}$=$\sqrt{{{（x-2）}^2}+{y^2}}$，從而能求出動圓圓心的軌跡Q的方程．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}y={k_1}（x-m）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，得${k_1}{y^2}-4y-4{k_1}m=0$，由已知條件推導出M、N的坐標，由此能證明直線MN恒過定點（m，2）．

解答 解：（1）設動圓圓心為O₁（x，y），動圓與y軸交于R，S兩點．
由題意，得|O₁P|=|O₁S|．
當O₁不在y軸上時，過O₁作O₁H⊥RS交RS于H，則H是RS的中點．
∴|O₁S|=$\sqrt{{x^2}+{2^2}}$．
又|O₁P|=$\sqrt{{{（x-2）}^2}+{y^2}}$，
∴$\sqrt{{x^2}+{2^2}}$=$\sqrt{{{（x-2）}^2}+{y^2}}$，化簡得y²=4x（x≠0）．
又當O₁在y軸上時，O₁與O重合，點O₁的坐標為（0，0）也滿足方程y²=4x．
∴動圓圓心的軌跡Q的方程為y²=4x．
（2）證明：由$\left\{\begin{array}{l}y={k_1}（x-m）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，得${k_1}{y^2}-4y-4{k_1}m=0$．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${y_1}+{y_2}=\frac{4}{k_1}，\;{y_1}{y_2}=-4m$．
因為AB中點$M（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}）$，所以$M（\frac{2}{k_1^2}+m，\frac{2}{k_1}）$．
同理，點$N（\frac{2}{k_2^2}+m，\frac{2}{k_2}）$．
∴${k_{MN}}=\frac{{{y_M}-{y_N}}}{{{x_M}-{x_N}}}=\frac{{{k_1}{k_2}}}{{{k_1}+{k_2}}}={k_1}{k_2}$
∴直線MN：$y-\frac{2}{k_1}={k_1}{k_2}[x-（\frac{2}{k_1^2}+m）]$，即y=k₁k₂（x-m）+2
∴直線MN恒過定點（m，2）．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．