Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若方程f（x）=m（m＜﹣2）有兩個相異實根x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 證明：x1x22＜2．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=lnx﹣x的定義域為（0，+∞）

令f′（x）＜0得x＞1，令f′（x）＞0得0＜x＜1

所以函數(shù)f（x）=lnx﹣x的單調(diào)減區(qū)間是（1，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間（0，1）

（2）解：由（1）可設(shè)f（x）=m（m＜﹣2）有兩個相異實根x1，x2，滿足lnx﹣x﹣m=0

且0＜x1＜1，x2＞1，lnx1﹣x1﹣m=lnx2﹣x2﹣m=0

由題意可知lnx2﹣x2=m＜﹣2＜ln2﹣2

又由（1）可知f（x）=lnx﹣x在（1，+∞）遞減

故x2＞2

令g（x）=lnx﹣x﹣m

g（x1）﹣g（ ）=﹣x2+ +3lnx2﹣ln2

令h（t）= +3lnt﹣ln2（t＞2），

則h′（t）=﹣ ．

當t＞2時，h′（t）＜0，h（t）是減函數(shù)，所以h（t）＜h（2）=2ln2﹣ ＜0．

所以當x2＞2 時，g（x1）﹣g（ ）＜0，即g（x1）＜g（ ）

因為g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，

所以x1＜ ，故x1x22＜2．

綜上所述：x1x22＜2

【解析】（1）確定函數(shù)的定義域，求導數(shù)，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）證明x2＞2，構(gòu)造g（x）=lnx﹣x﹣m，證明g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，即可證明結(jié)論．
【考點精析】利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．