Question

【題目】已知數(shù)列{an}，{bn}滿足2Sn=（an+2）bn ， 其中Sn是數(shù)列{an}的前n項和．
（1）若數(shù)列{an}是首項為 ，公比為﹣ 的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn}的通項公式；
（2）若bn=n，a2=3，求證：數(shù)列{an}滿足an+an+2=2an+1 ， 并寫出數(shù)列{an}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，設cn= ， 求證：數(shù)列{cn}中的任意一項總可以表示成該數(shù)列其他兩項之積．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為數(shù)列{an}是首項為 ，公比為- 的等比數(shù)列

所以 ，

所以

（2）解：若bn=n，則2Sn=（an+2）n，所以2Sn+1=（n+1）（an+1+2）

所以2an+1=（n+1）an+1﹣nan+2，即（n﹣1）an+1+2=nan

所以nan+2+2=（n+1）an+1

所以nan+2﹣（n﹣1）an+1=（n+1）an+1﹣nan

所以an+an+2=2an+1

又由2S1=a1+2，得：a1=2

所以數(shù)列{an}是首項為2公差為1的等差數(shù)列

所以an=n+1

（3）解：證明：由（2）知 ，

對于給定的n∈N*，若存在k，t≠n，且t，k∈N*，使得cn=ckct，

只需

只需

取k=n+1，則t=n（n+2）

所以對于數(shù)列{cn}中的任意一項 ，

都存在Cn+1= 與Cn（n+2）= ，使得cn=cn+1cn（n+2），

即數(shù)列{cn}中的任意一項總可以表示成該數(shù)列其他兩項之積

【解析】（1）通過數(shù)列{an}是首項為 ，公比為- 的等比數(shù)列求出通項公式，然后求解 ．（2）若bn=n，通過an=Sn﹣Sn+1 ， 得到遞推關(guān)系式，化簡推出數(shù)列{an}是首項為2公差為1的等差數(shù)列，求出通項公式．（3）由（2）知 ，對于給定的n∈N* ， 若存在k，t≠n，且t，k∈N* ， 使得cn=ckct ， 證明 ，構(gòu)造 ，然后證明數(shù)列{cn}中的任意一項總可以表示成該數(shù)列其他兩項之積．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數(shù)列的前n項和(數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系)，還要掌握數(shù)列的通項公式(如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．