Question

有一塊邊長(zhǎng)為4的正方形鋼板，現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行切割、焊接成一個(gè)長(zhǎng)方體形無(wú)蓋容器（切、焊損耗忽略不計(jì)）．有人應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)作了如下設(shè)計(jì)：如圖（a），在鋼板的四個(gè)角處各切去一個(gè)小正方形，剩余部分圍成一個(gè)長(zhǎng)方體，該長(zhǎng)方體的高為小正方形邊長(zhǎng)，如圖（b）．
（1）請(qǐng)你求出這種切割、焊接而成的長(zhǎng)方體的最大容積V₁；
（2）由于上述設(shè)計(jì)存在缺陷（材料有所浪費(fèi)），請(qǐng)你重新設(shè)計(jì)切、焊方法，使材料浪費(fèi)減少，而且所得長(zhǎng)方體容器的容積V₂＞V₁．

Answer 1

分析：本題首先設(shè)出小正方形的邊長(zhǎng)為x，則長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬都為4-2x，體積等于長(zhǎng)×寬×高，求出體積的導(dǎo)數(shù)，令其等于零得出最大容積．第二問(wèn)主要對(duì)題意理解清楚，說(shuō)的是材料有所浪費(fèi)，想到在兩個(gè)角切去小正方形，去下的小正方形焊到對(duì)邊上組成新的長(zhǎng)方體體積比原來(lái)的大．

解答：解：（1）設(shè)切去正方形邊長(zhǎng)為x，則焊接成的長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為4-2x，高為x，
∴V₁=（4-2x）²•x=4（x³-4x²+4x）（0＜x＜2）．
∴V₁′=4（3x²-8x+4）．
令V₁′=0，得x₁=

2

3

，x₂=2（舍去）．
而V₁′=12（x-

2

3

）（x-2），
又當(dāng)x＜

2

3

時(shí)，V₁′＞0；當(dāng)

2

3

＜x＜2時(shí)，V₁′＜0，
∴當(dāng)x=

2

3

時(shí)，V₁取最大值

128

27

．
（2）重新設(shè)計(jì)方案如下：
如圖①，在正方形的兩個(gè)角處各切下一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形；如圖②，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間；如圖③，將圖②焊成長(zhǎng)方體容器．
新焊長(zhǎng)方體容器底面是一長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為3，寬為2，此長(zhǎng)方體容積V₂=3×2×1=6，顯然V₂＞V₁．
故第二種方案符合要求．

點(diǎn)評(píng)：此題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間的最值以及第二問(wèn)是開放性問(wèn)題，考查學(xué)生的實(shí)際操作能力．