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11.已知函數fx=2x+k2x是定義域為R的奇函數.
(1)求k的值,并判斷y=f(x)的單調性(不要求證明);
(2)若fx32,求x的取值范圍;
(3)若gx=4x+14x+2mfx在[1,+∞)上的最小值為-2,求m的值.

分析 (1)根據f(x)為定義在R上的奇函數,從而有f(0)=0,這樣便可求出k=-1,從而fx=2x12x,根據指數函數的單調性和增函數的定義即可判斷出f(x)為R上的增函數;
(2)可求出f(1)=32,從而有f(x)>f(1),根據f(x)的單調性便可得出f(x)32的解集,即x的取值范圍;
(3)先得到g(x)=22x+2-2x+2m(2x-2-x),可設2x-2-x=t,并可得到t[32+,從而有h(t)=t2+2mt+2,對稱軸為t=-m,從而可以討論-m和32的關系:分m32m32兩種情況,求出每種情況下的h(t)的最小值,根據最小值為-2即可求出m的值.

解答 解:(1)f(x)為R上的奇函數;
∴f(0)=1+k=0;
∴k=-1;
fx=2x12x
x增大時,2x增大,12x減小,12x增大;
2x12x增大,即f(x)增大;
∴f(x)在R上單調遞增;
(2)由(1)f(x)在R上單調遞增,且f(1)=32;
fx32的解集為(1,+∞);
(3)g(x)=22x+2-2x+2m(2x-2-x);
令2x-2-x=t,則22x+2-2x=t2+2,由x∈[1,+∞)得t[32+
∴h(t)=t2+2mt+2=(t+m)2+2-m2,t[32+;
①當m32,即m32時,h(t)在[32+上為增函數;
htmin=h32=94+3m+2=2,解得m=251232+(舍去);
②當m32,即m32時,htmin=hm=2m2=2,解得m=-2,或m=2(舍去);
∴綜上可得,m的值為-2.

點評 考查奇函數的定義,奇函數在原點有定義時,原點處的函數值為0,以及增函數的定義,指數函數的單調性,根據增函數的定義解不等式的方法,換元法的運用,以及二次函數的對稱軸,二次函數的單調性,二次函數的最小值的求法.

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