Question

已知雙曲線，P為雙曲線C上的任意一點(diǎn)．
（1）寫出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程；
（2）求證：點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)．

Answer 1

解：（1）依題意，雙曲線的兩焦點(diǎn)F₁（-，0），F(xiàn)₂（，0），兩條漸近線方程分別是x-2y=0和x+2y=0．
（2）設(shè)P（x₁，y₁）是雙曲線上任意一點(diǎn)，該點(diǎn)P（x₁，y₁）到兩條漸近線的距離分別是和，
∵P（x₁，y₁）為雙曲線C上的任意一點(diǎn)，
∴-4=4，
∴它們的乘積是•==．
∴點(diǎn)P到雙曲線的兩條漸線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)．
分析：（1）由雙曲線C的方程-y²=1即可寫出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程；
（2）設(shè)P（x₁，y₁）是雙曲線上任意一點(diǎn)，求得點(diǎn)P（x₁，y₁）到兩條漸近線的距離計(jì)算即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程與的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線間的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．