Question

已知函數f（x）=lnx+

a

x+1

（a∈R）．
（1）當a=

9

2

時，如果函數g（x）=f（x）-k僅有一個零點，求實數k的取值范圍；
（2）當a=2時，試比較f（x）與1的大小．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,函數零點的判定定理,利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,導數的概念及應用

分析：由題意得，由函數的零點轉化為函數的極值與0的大小關系，如果可以借助數學結合思想的話，還可以看作函數圖象與X軸的交點的個數的問題．

解答： 解：（1）當a=

9

2

時，g（x）=lnx+

9

2(x+1)

-k，
g'（x）=

1

x

-

9

2(x+1)2

=

2x2-5x+2

2x(x+1)2

=0
解方程得方程的根為：x₁=2，x₂=

1

2

 由g（x）定義域可知x＞0；
∵當0＜x＜

1

2

時  g'（x）＞0，g（x）增函數，
當

1

2

＜x＜2時  g'（x）＜0，g（x）減函數，
當x＞2時     g'（x）＞0，g（x）增函數，
∴f（x）的極大值是f(

1

2

)=3-ln2，極小值是f(2)=

3

2

+ln2
∴g（x）在x=

1

2

處取得極大值3-ln2-k，在x=2處取得極小值

3

2

+ln2-k；
∵函數g（x）=f（x）-k僅有一個零點
∴當3-ln2-k＜0或

3

2

+ln2-k＞0時g（x）僅有一個零點，
∴k的取值范圍是k＞3-ln2或k＜

3

2

+ln2．
（2）當a=2時，f(x)=lnx+

2

x+2

，定義域為（0，+∞），
令h(x)=f(x)-1=lnx+

2

x+1

-1，
∵h′(x)=

1

x

-

2

(x+1)2

=

x2+1

x(x+1)2

＞0
∴h（x）在（0，+∞）是增函數 
∵h（1）=0
∴①當x＞1時，h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞1；
   ②當0＜x＜1時，h（x）＜h（1）=0，即f（x）＜1；
   ③當x=1時，h（x）=h（1）=0，即f（x）=1．

點評：此題考查了：函數零點的存在性定理；利用導數求函數的單調性和極值的一般步驟．