Question

【題目】寫出命題“已知a ， b∈R ， 若關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，則a2≥4b”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假．

Answer 1

【答案】解：逆命題：已知a ， b∈R ， 若a2≥4b ， 則關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，為真命題．
否命題：已知a ， b∈R ， 若關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0沒有非空解集，則a2<4b ， 為真命題．
逆否命題：已知a ， b∈R ， 若a2<4b ， 則關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0沒有非空解集，為真命題．
【解析】寫一個(gè)命題的其他三種命題時(shí)，需注意：①對(duì)于不是“若p ， 則q”形式的命題，需先改寫；②若命題有大前提，寫其他三種命題時(shí)需保留大前提；判斷一個(gè)命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出反例；根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)命題直接判斷不易進(jìn)行時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價(jià)命題的真假．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用四種命題間的逆否關(guān)系和四種命題的真假關(guān)系的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題；同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題；交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的命題是逆否命題；一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題的真假有如下三條關(guān)系：(原命題 逆否命題)①、原命題為真，它的逆命題不一定為真;②、原命題為真，它的否命題不一定為真;③、原命題為真，它的逆否命題一定為真．