Question

設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為1,公差為(N^*),為數(shù)列中的項(xiàng).

(1) 若,試判斷的展開式中是否含有常數(shù)項(xiàng),并說明理由;

(2) 求證:存在無窮多個,使得對每一個, 的展開式中均不含常數(shù)項(xiàng)

Answer 1

證明:(1) 因?yàn)?sub>是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列,所以

假設(shè)的展開式中的第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)(),

,于是,

因?yàn)?sub>為數(shù)列中的項(xiàng).所以設(shè) (),則有,

即,這與矛盾.

所以假設(shè)不成立,即的展開式中不含常數(shù)項(xiàng).

(2) 由題設(shè)知,設(shè),

由(1)知,要使對每一個, 的展開式中均不含常數(shù)項(xiàng),

必須有對于n∈N^*,滿足中的r無自然數(shù)解,

即.

當(dāng)d=3k(k∈N^*)時, .

故存在無窮多個d,滿足對每一個m, 的展開式中均不含常數(shù)項(xiàng).