Question

15．中國(guó)古建筑中的窗飾是藝術(shù)和技術(shù)的統(tǒng)一體，給人于美的享受．如圖（1）為一花窗；圖（2）所示是一扇窗中的一格，呈長(zhǎng)方形，長(zhǎng)30cm，寬26cm，其內(nèi)部窗芯（不含長(zhǎng)方形邊框）用一種條形木料做成，由兩個(gè)菱形和六根支條構(gòu)成，整個(gè)窗芯關(guān)于長(zhǎng)方形邊框的兩條對(duì)稱軸成軸對(duì)稱．設(shè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為xcm和ycm，窗芯所需條形木料的長(zhǎng)度之和為L(zhǎng)．
（1）試用x，y表示L；
（2）如果要求六根支條的長(zhǎng)度均不小于2cm，每個(gè)菱形的面積為130cm²，那么做這樣一個(gè)窗芯至少需要多長(zhǎng)的條形木料（不計(jì)榫卯及其它損耗）？

Answer 1

分析 （1）分別求出水平方向每根支條長(zhǎng)、豎直方向每根支條長(zhǎng)、菱形的邊長(zhǎng)，即可用x，y表示L；
（2）$L=82+4\sqrt{{x^2}+{{（\frac{260}{x}）}^2}}-2（x+\frac{260}{x}）$．換元，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，水平方向每根支條長(zhǎng)為$m=\frac{30-2x}{2}=15-x$ cm，豎直方向每根支條長(zhǎng)為$n=\frac{26-y}{2}=13-\frac{y}{2}$ cm，菱形的邊長(zhǎng)為$\sqrt{{{（\frac{x}{2}）}^2}+{{（\frac{y}{2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{2}$ cm．
從而，所需木料的長(zhǎng)度之和L=$2（15-x）+4（13-\frac{y}{2}）+8×\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{2}$=$82+4\sqrt{{x^2}+{y^2}}-2（x+y）$ cm．
（2）由題意，$\frac{1}{2}xy=13$，即$y=\frac{260}{x}$，
又由$\left\{{\begin{array}{l}{15-x≥2}\\{13-\frac{y}{2}≥2}\end{array}}\right.$ 可得$\frac{130}{11}≤x≤13$．所以$L=82+4\sqrt{{x^2}+{{（\frac{260}{x}）}^2}}-2（x+\frac{260}{x}）$．
令$t=x+\frac{260}{x}$，其導(dǎo)函數(shù)$1-\frac{260}{x^2}＜0$ 在$\frac{130}{11}≤x≤13$ 上恒成立，
故$t=x+\frac{260}{x}$ 在$[\frac{130}{11}，13]$ 上單調(diào)遞減，
所以可得$t∈[33，\frac{372}{11}]$．
則$L=82+2[2\sqrt{{{（x+\frac{260}{x}）}^2}-520}-（x+\frac{260}{x}）]$=$82+2[\sqrt{{t^2}-520}+\sqrt{{t^2}-520}-t]$
=$82+2[\sqrt{{t^2}-520}+\frac{-520}{{\sqrt{{t^2}-520}+t}}]$．
因?yàn)楹瘮?shù)$y=\sqrt{{t^2}-520}$ 和$y=\frac{-520}{{\sqrt{{t^2}-520}+t}}$ 在$t∈[33，\frac{372}{11}]$ 上均為增函數(shù)，
所以$L=82+2[\sqrt{{t^2}-520}+\frac{-520}{{\sqrt{{t^2}-520}+t}}]$ 在$t∈[33，\frac{372}{11}]$ 上為增函數(shù)，
故當(dāng)t=33，即x=130，y=20 時(shí)L有最小值$16+4\sqrt{569}$．
答：做這樣一個(gè)窗芯至少需要$16+4\sqrt{569}$ cm長(zhǎng)的條形木料．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定函數(shù)關(guān)系是關(guān)鍵．