Question

3．某單位擬建一個扇環(huán)形狀的花壇（如圖所示），按設計要求扇環(huán)的周長為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米．設小圓弧所在圓的半徑為x米，圓心角為θ（弧度）．
（1）求θ關于x的函數(shù)關系式；
（2）已知對花壇的邊緣（實線部分）進行裝飾時，直線部分的裝飾費用為4元/米，弧線部分的裝飾費用為9元/米．設花壇的面積與裝飾總費用之比為y，求y關于x的函數(shù)關系式，并求出y的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)扇形的周長公式進行求解即可．
（2）結(jié)合花壇的面積公式，結(jié)合費用之間的關系進行求解即可．

解答 解：（1）由題可知30=θ（10+x）+2（10-x），所以θ=$\frac{10+2x}{10+x}$，x∈（0，10）…5
（2）花壇的面積為$\frac{1}{2}$θ（10²-x²）=（5+x）（10-x）=-x²+5x+50（0＜x＜10），
裝飾總費用為9θ（10+x）+8（10-x）=170+10x，
所以花壇的面積與裝飾總費用之比為y=$\frac{-{x}^{2}+5x+50}{170+10x}$=-$\frac{{x}^{2}-5x-50}{10（17+x）}$．…7
令t=17+x，t∈（17，27）則y=$\frac{39}{10}$-$\frac{1}{10}$（t+$\frac{324}{t}$）≤$\frac{39}{10}$-$\frac{1}{10}$$2\sqrt{324}$=$\frac{3}{10}$，…（10分）
當且僅當t=18時取等號，此時x=1，θ=$\frac{12}{11}$．
（若利用雙勾函數(shù)單調(diào)性求最值的，則同等標準給分，但須說明單調(diào)性．）
故當x=1時，花壇的面積與裝飾總費用之比最大．…12

點評 本題主要考查函數(shù)的應用問題，結(jié)合扇形的周長和面積公式以及函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關鍵．