Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+3x-1．
（1）若f（x）在x=-2處取得極值，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）對x∈[-1，1]時，f（x）≤0，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由極值的意義求得a，利用導(dǎo)數(shù)即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由題意把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極值問題解決，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，列出不等式解得即可．

解答： 解：（1）f′（x）=3ax²+3，
∵f（x）在x=-2處取得極值，
∴f′（-2）=12a+3=0，∴a=-

1

4

，
∴f′（x）=-

3

4

x²+3=-

3

4

（x²-4）=-

3

4

（x+2）（x-2），
∴x＞2或x＜-2時，f′（x）＜0，-2＜x＜2時，f′（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)區(qū)間是（-2，2），單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-2）和（2，+∞）．
（2）∵x∈[-1，1]時f（x）≤0，
∴f（-1）=-a-3-1≤0，f（1）=a+3-1≤0，
∴-4＜a＜-2，
∴f′（x）=3ax²+3=3a（x²+

1

a

）=3a（x+

- 1 a

）（x-

- 1 a

），且

1

2

≤

- 1 a

≤

2

2

，
列表如下：

x	[-1，- - 1 a ]	- - 1 a	（- - 1 a ， - 1 a ）	- 1 a	（ - 1 a ，1]
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

∴要x∈[-1，1]時，f（x）≤0，只要f（-1）≤0，f（

- 1 a

）≤0，
由f（

- 1 a

）=a（-

1

a

）

- 1 a

+3

- 1 a

-1=2

- 1 a

-1≤0，得a≤-4，
∴a≤-4．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值判斷函數(shù)的單調(diào)性等知識，考查學(xué)生的運算求解能力，屬中檔題．