Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n=kn（n+1）-n（k∈R），公差d為2．
（1）求a_n與k；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，b_n-b_n-1=2 an（n≥2），求b_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）先利用S_n=kn（n+1）-n（k∈R），用k把a(bǔ)₁和a₂表示出來(lái)，再結(jié)合d=2即可求出k，則首項(xiàng)可求，通項(xiàng)可求；
（2）對(duì)于數(shù)列b_n所滿足的條件，可采用迭代法，因?yàn)閿?shù)列{a_n}通項(xiàng)已知，且b₁已知，所以最終b_n可求．

解答： 解：（Ⅰ）由題設(shè)得a₁=S₁=2k-1，
a₂=S₂-S₁=4k-1，
由a₂-a₁=2得k=1，
則a₁=1，a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．
（Ⅱ）b_n=bn-1+2an=bn-2+2an-1+2an=…=b1+2a2+2a3+…+2an-1+2an，
由（Ⅰ）知2an=22n-1，且b₁=2，
∴bn=21+23+25+…+22n-3+22n-1
=

2(1-4n)

1-4

=

2(4n-1)

3

．
顯然n=1時(shí)，上式成立，
綜上所述，bn=

2(4n-1)

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的基本量計(jì)算、迭代法求數(shù)列通項(xiàng)的問(wèn)題．前者主要是方程（組）的思想方法，后者要注意使用條件的判斷．