Question

（文科做）函數(shù)f（x）=ax³-6ax²+3bx+b，其圖象在x=2處的切線方程為3x+y-11=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與y=

1

3

f′(x)+5x+m的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)在某一點處導(dǎo)數(shù)的幾何意義：f'（2）=-3以及f（2）=5，列方程組求解參數(shù)．
（2）由（1）中得到的函數(shù)解析式y(tǒng)=f（x）的圖象與y=

1

3

f′(x)+5x+m的圖象有三個不同的交點，轉(zhuǎn)化為方程
f（x）=

1

3

f′(x)+5x+m有三個不相等的實根，進一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=f（x）-

1

3

f′(x)+5x+m的圖象與x軸有三個不同的交點，于是利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)可得新函數(shù)g（x）的極值，通過判斷極值的符號可得結(jié)論．

解答：解：（1）由題意得f'（x）=3ax²-12ax+3b，f'（2）=-3且f（2）=5，
∴

12a-24a+3b=-3 8a-24a+6b+b=5

即

4a-b=1 -16a+7b=5

解得a=1，b=3，
∴f（x）=x³-6x²+9x+3． （6分）
（2）由f（x）=x³-6x²+9x+3，可得f'（x）=3x²-12x+9，

1

3

f′(x)+5x+m=

1

3

(3x2-12x+9)+5x+m=x²+x+3+m，
則由題意可得x³-6x²+9x+3=x²+x+3+m有三個不相等的實根，
即g（x）=x³-7x²+8x-m的圖象與x軸有三個不同的交點，g'（x）=3x²-14x+8=（3x-2）（x-4），則g（x），g'（x）的變化情況如下表．

x	(-∞， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，4)	4	（4，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

則函數(shù)f（x）的極大值為g(

2

3

)=

68

27

-m，極小值為g（4）=-16-m．y=f（x）的圖象與y=

1

3

f′(x)+5x+m的圖象有三個不同交點，則有：

g( 2 3 )= 68 27 -m＞0 g(4)=-16-m＜0

解得-16＜m＜

68

27

．（12分）

點評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和極值問題，綜合考查了函數(shù)的零點，考查了函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化與化歸的思想．