Question

（文科做）函數(shù)f（x）=ax³-6ax²+3bx+b，其圖象在x=2處的切線方程為3x+y-11=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與y=

1

3

f′(x)+5x+m的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）由題意得f'（x）=3ax²-12ax+3b，f'（2）=-3且f（2）=5，
∴

12a-24a+3b=-3 8a-24a+6b+b=5

即

4a-b=1 -16a+7b=5

解得a=1，b=3，
∴f（x）=x³-6x²+9x+3． （6分）
（2）由f（x）=x³-6x²+9x+3，可得f'（x）=3x²-12x+9，

1

3

f′(x)+5x+m=

1

3

(3x2-12x+9)+5x+m=x²+x+3+m，
則由題意可得x³-6x²+9x+3=x²+x+3+m有三個(gè)不相等的實(shí)根，
即g（x）=x³-7x²+8x-m的圖象與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，g'（x）=3x²-14x+8=（3x-2）（x-4），則g（x），g'（x）的變化情況如下表．

x	(-∞， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，4)	4	（4，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

則函數(shù)f（x）的極大值為g(

2

3

)=

68

27

-m，極小值為g（4）=-16-m．y=f（x）的圖象與y=

1

3

f′(x)+5x+m的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，則有：

g( 2 3 )= 68 27 -m＞0 g(4)=-16-m＜0

解得-16＜m＜

68

27

．（12分）