Question

如圖所示，拋物線y=4-x²與直線y=3x的兩交點為A、B，點P在拋物線上從A向B運動．
（1）求使△PAB的面積最大時P點的坐標（a，b）．
（2）證明由拋物線與線段AB圍成的圖形，被直線x=a分為面積相等的兩部分．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（Ⅰ）設點P的坐標為（a，b）由（Ⅰ）可得A，B，要使△PAB的面積最大即使點P到直線3x-y=0的距離最大，故過點P的切線與直線3x-y=0平行，從而可求．
（Ⅱ）根據(jù)A（1，3），B（-4，-12）到直線x=-

3

2

，距離相等設為d，等底等高，得出面積相等．

解答： 解：（Ⅰ）設點P的坐標為（a，b）由（Ⅰ）得A（1，3），B（-4，-12）
要使△PAB的面積最大
即使點P到直線3x-y=0的距離最大 故過點P的切線與直線3x-y=0平行
又過點P的切線得斜率為k=y'=-2x|_x=a=-2a
∴-2a=3即a=-

3

2

，b=

7

4

∴P點的坐標為（-

3

2

，

7

4

）時，△PAB的面積最大．

（Ⅱ）∵x=-

3

2

，A（1，3），B（-4，-12）
∴x=-

3

2

，y=4-x²與直線y=3x，交點為；（-

3

2

，

7

4

），（-

3

2

，

9

2

），距離為

11

4

，
∵A（1，3），B（-4，-12）到直線x=-

3

2

的距離相等設為d，則d=

5

2

，
等底等高，
∴由拋物線與線段AB圍成的圖形，被直線x=a分為面積相等的兩部分．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質，函數(shù)圖象的交點，面積問題，難度較小，屬于容易題．