Question

下列命題正確的序號(hào)為________．
①若等差數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，則三點(diǎn)（10，）、（100，）、（110、）共線；
②若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，則數(shù)列{log₂a_n}為等差數(shù)列；
③等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，則a=-1；
④若數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和S_n滿足S_n+1=a₁+qS_n（其中常數(shù)a₁q≠0），則{a_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

①③④
分析：利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、求和公式可判斷①②③④四個(gè)命題的正誤．
解答：①∵等差數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，=na₁+，
∴=（a₁-）+n，
∴數(shù)列{}關(guān)于n的一次函數(shù)（d≠0）或常函數(shù)（d=0），故（10，）、（100，）、（110、）共線，正確；
②不妨令a_n=-1，數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，但log₂a_n為無(wú)意義，故②錯(cuò)誤；
③依題意，a₁=2+a，a₂=（2²+a）-（2+a）=2，a₃=（2³+a）-（2²+a）=4，
∵a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，
∴=a₁•a₃，即4=4（2+a），解得a=-1．故③正確；
④∵S_n+1=a₁+qS_n，
∴S_n+2=a₁+qS_n+1，
兩式相減得：a_n+2=qa_n+1，即=q；
又S₂=a₁+a₂=a₁+a₁q，
∴=q，
∴{a_n}是等比數(shù)列，故④正確．
故答案為：①③④．
點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，突出考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和，考查轉(zhuǎn)化思想與分析運(yùn)算能力，屬于難題．