Question

已知函數(shù)y=f（x）定義在R上，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，f（x+y）=f（x）•f（y）恒成立，且當(dāng)x＞0時(shí)，有0＜f（x）＜1．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）求不等式f（x-1）f（

1

x

）＞1的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：本題（1）利用函數(shù)單調(diào)性定義，結(jié)合條件f（x+y）=f（x）•f（y），將定義中的x₂化成x₁+（x₂-x₁）的形式，判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用已證明的函數(shù)單調(diào)性；（2）利用抽象函數(shù)的條件，求出f（0）=1，將不等式f（x-1）f（

1

x

）＞1轉(zhuǎn)化為f（x-1）f（

1

x

）＞f（0），再結(jié)合條件f（x+y）=f（x）•f（y）和函數(shù)單調(diào)性，得到x+

1

x

＜1，分類討論，解出本題結(jié)論．

解答： 解：（1）在函數(shù)f（x）定義域R上任取自變量x₁，x₂且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0．
∵f（x+y）=f（x）•f（y），
∴令x=y=

t

2

，則f（t）=[f（

t

2

）]²≥0．
∴f（x）≥0．
∴f（x₂）-f（x₁）=f[x₁+（x₂-x₁）]-f（x₁）=f（x₁）f（x₂-x₁）]-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]．
∵當(dāng)x＞0時(shí)，有0＜f（x）＜1，
∴f（x₂-x₁）＜1．
∴函數(shù)f（x）定義域R上單調(diào)遞減．
（2）∵f（x+y）=f（x）•f（y），
∴令x=1，y=0，得到：f（1）=f（1）•f（0），
∴f（0）=1．
∵不等式f（x-1）f（

1

x

）＞1，
∴f（x-1+

1

x

）＞f（0），
∴x-1+

1

x

＜0，
∴x+

1

x

＜1．
當(dāng)x＞0時(shí)，x+

1

x

≥2，
當(dāng)x＜0時(shí)，x+

1

x

≤-2，
∴x＜0．
∴不等式f（x-1）f（

1

x

）＞1的解集為：（-∞，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性定義和應(yīng)用，本題難度適中，屬于中檔題．