已知一條曲線C1在y軸右邊,C1上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1,C2
x2
4
+
y2
3
=1,過點F的直線l交C1于A,C兩點,交C2于B,D兩點,
(1)求曲線C1方程.
(2)是否存在直線l,使kOA+kOB+kOC+kOD=0(kOA,kOB,kOC,kOD為斜率),若存在,求出所有滿足條件的直線l;若不存在,請說明理由.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)設M(x,y)是曲線C上任意一點,那么點M(x,y)滿足
(x-1)2+y2
-x=1(x>0),由此能求出曲線C1的方程.
(2)假設存在直線l,使kOA+kOB+kOC+kOD=0.①設直線l:x=1,求出l與拋物線的交點A,C,與橢圓的交點B,D,判斷斜率之和是否為0;②設直線l:y=k(x-1),聯(lián)立拋物線y2=4x,運用韋達定理,和斜率公式,化簡
kOA+KOC=-
4
k
,直線l與橢圓方程3x2+4y2=12聯(lián)立消去y,得到關于x的方程,運用韋達定理和斜率公式,得到kOB+kOD=-
6k
k2-3
,再由kOA+kOB+kOC+kOD=0,解出k即可.
解答: 解:(1)設M(x,y)是曲線C1上任意一點,
那么點M(x,y)滿足
(x-1)2+y2
-x=1(x>0)
化簡,得拋物線方程:y2=4x(x>0).
(2)假設存在直線l,使kOA+kOB+kOC+kOD=0.
①設直線l:x=1,則l與拋物線的交點為A(1,2),C(1,-2),
l與橢圓的交點為B(1,
3
2
),D(1,-
3
2
),即有kOA+kOB+kOC+kOD=0.
②設直線l:y=k(x-1),聯(lián)立拋物線y2=4x,得
k
4
y2-y-k=0,y1+y2=
4
k

y1y2=-4.則kOA+KOC=
y1
x1
+
y2
x2
=
4y1
y12
+
4y2
y22
=4•
y1+y2
y1y2
=-
4
k
,
直線l與橢圓方程3x2+4y2=12聯(lián)立消去y,得,(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
x3+x4=
8k2
3+4k2
,x3x4=
4k2-12
3+4k2
,
kOB+kOD=
y3
x3
+
y4
x4
=
k(x3-1)
x3
+
k(x4-1)
x4
=2k-k•
x3+x4
x3x4
=2k-k•
8k2
4k2-12
=-
6k
k2-3
,
由kOA+kOB+kOC+kOD=0即-
4
k
-
6k
k2-3
=0,k=±
30
5

即直線l的方程為:y=±
30
5
(x-1).
綜上,所有滿足條件的直線l為:x=1或y=±
30
5
(x-1).
點評:本題考查軌跡方程的求法:直接法,注意化簡等價性,同時考查直線與圓錐曲線方程聯(lián)立,消去一個未知數(shù),運用韋達定理和斜率公式,化簡求解的能力,屬于中檔題.
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x-1
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+
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