Question

已知函數(shù)f（x）=asin²x+bsinx+c，若f（x）_max=444，f（x）_min=361，f（

π

6

）=381，則f（x）=

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用換元法，把函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，對二次函數(shù)的對稱軸進行分類討論，利用已知的三個值列方程求得a，b和c，則函數(shù)的解析式可得．

解答： 解：設(shè)sinx=t，則-1≤t≤1，f（x）=g（t）=at²+bt+c，
函數(shù)圖象的對稱軸為t=-

b

a

，
①當a＞0，0≤-

b

a

≤1時，有

a+b+c=444 b2 a - b2 a +c=361 a 4 + b 2 +c=381

，求得a=66，b=7，c=361，
與0≤-

b

a

≤1矛盾，故無解．
②當a＞0，-1≤-

b

a

≤0時，有

g(-1)=a-b+c=444 b2 a - b2 a +c=361 a 4 + b 2 +c=381

，求得a=

226

3

，b=

7

3

，c=361，
與-1≤-

b

a

≤0矛盾，故無解．
③當a＞0，-

b

a

≥1時，有

a-b+c=444 a+b+c=361 a 4 + b 2 +c=381

，求得a=1，b=-

83

2

，c=

803

2

，
f（x）=sin²x-

83

2

sinx+

803

2

，
④當a＞0，-

b

a

≤-1時，

a+b+c=444 a-b+c=361 a 4 + b 2 +c=381

，求得a=

169

3

，b=

83

2

，
-

b

a

=-

83

169

＞-1，與-

b

a

≤-1矛盾，無解．
綜合得f（x）=sin²x-

83

2

sinx+

803

2

．
故答案為：sin²x-

83

2

sinx+

803

2

．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．運用了分類討論的思想和數(shù)形結(jié)合的思想．