Question

17．己知拋物線y²=4x的焦點為F，過焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，則直線的斜率為±2$\sqrt{2}$時，|AF|+4|BF|取得最小值．

Answer 1

分析 由題意，設|AF|=m，|BF|=n，則$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{2}{p}$=1，利用基本不等式可求m+4n的最小值時，m=2n．設過F的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理后，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根據(jù)韋達定理可求得x₁x₂=1，x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$
根據(jù)拋物線性質可知，|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，即可得出結論．

解答 解：由題意，設|AF|=m，|BF|=n，則$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{2}{p}$=1，
∴m+4n=（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）（m+4n）=5+$\frac{4n}{m}$+$\frac{m}{n}$≥9，
當且僅當m=2n時，m+4n的最小值為9，
設直線的斜率為k，方程為y=k（x-1），代入拋物線方程，得 k²（x-1）²=4x．
化簡后為：k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則有x₁x₂=1，x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$
根據(jù)拋物線性質可知，|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，
∴x₁+1=2（x₂+1），
聯(lián)立可得k=±2$\sqrt{2}$．
故答案為：±2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查拋物線的性質和應用，正確運用基本不等式是關鍵．對于過拋物線焦點的直線與拋物線關系，常用拋物線的定義來解決．