Question

【題目】如圖，AC是圓O的直徑，點B在圓O上， ， 交于，

(1)證明: ；

(2) 求平面與所成的銳角二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：(1)先利用線面垂直的性質(zhì)和判定得到線線垂直和線面垂直，再根據(jù)直徑所對的圓周角為直角和線面垂直的性質(zhì)、等腰直角三角形得到線線垂直，進而利用線面垂直的判定定理進行證明；(2)根據(jù)垂直關系建立適當?shù)目臻g直角坐標系，寫出相關點坐標，求出有關平面的法向量，再利用有關公式進行求解 .

試題解析：（1）證明：∵EA⊥平面ABC，BM平面ABC，∴EA⊥BM．

又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，

而EM平面ACFE，∴BM⊥EM．∵AC是圓O的直徑，∴∠ABC=90°．

又∵∠BAC=30°，AC=4，∴AB=，BC=2，AM=3，CM=1．

∵EA⊥平面ABC，FC‖EA， ∴FC⊥平面ABCD．

∴△EAM與△FCM都是等腰直角三角形．

∴∠EMA=∠FMC=45°．∴∠EMF=90°，即EM⊥MF（也可由勾股定理證得）．

∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF．

而BF平面MBF，∴EM⊥BF．

（2）解法一：延長EF交AC于G，連BG，過C作CH⊥BG，連接FH．

由（1）知FC⊥平面ABC，BG平面ABC，∴FC⊥BG．

而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH．∵FH平面FCH，∴FH⊥BG，

∴∠FHC為平面BEF與平面ABC所成的二面角的平面角．

在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4，

∴BM=ABsin=．

由．

∵與相似， ,

∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHCspan>=45°．∴平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為

解法二：如圖：以A為坐標原點，AC、AE分別為y軸和Z軸建立空間直角坐標系,

由已知得, ,

設平面的法向量為，

由 得

令，由得平面ABC的一個法向量為

設平面與所成的銳角二面角為，

則

所以，平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為.