Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x²（x-a）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間內是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值h（a）；
（3）對（2）中的h（a），若關于a的方程有兩個不相等的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數(shù)在某區(qū)間單調遞減轉化成導函數(shù)在該區(qū)間≤0恒成立，分離參數(shù)轉化成求函數(shù)最值．
（2）令導數(shù)為0，求得根，討論根與區(qū)間[1，2]的關系，判斷根左右兩邊的符號求出最小值．
（3）方程有兩不等根轉化成函數(shù)圖象有兩不同交點．
解答：（1）解：∵f（x）=x³-ax²，∴f′（x）=3x²-2ax．
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間內是減函數(shù)，
∴f′（x）=3x²-2ax≤0在上恒成立．
即在上恒成立，
∵，∴a≥1．
故實數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）；

（2）解：∵，
令f′（x）=0得．
①若a≤0，則當1≤x≤2時，f′（x）＞0，
所以f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
所以h（a）=f（1）=1-a．
②若，即，
則當1≤x≤2時，f′（x）＞0，
所以f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
所以h（a）=f（1）=1-a．
③若，即，
則當時，f′（x）＜0；
當時，f′（x）＞0．
所以f（x）在區(qū)間上是減函數(shù)，
在區(qū)間上是增函數(shù)．
所以
④若a≥3，即，則當1＜x＜2時，
f′（x）＜0，所以f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)．
所以h（a）=f（2）=8-4a．
綜上所述，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]的最小值
；

（3）解：由題意有兩個不相等的實數(shù)解，
即（2）中函數(shù)h（a）的圖象與直線有兩個
不同的交點．
而直線恒過定點，
由如圖知實數(shù)m的取值范圍是（-4，-1）．
點評：本題考查導數(shù)解決單調性問題；不等式恒成立問題；導數(shù)求最值問題；方程根問題；數(shù)形結合思想；轉化化歸思想．