Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，

nan-an+1

an+1

=n，n∈N．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

2n

an

，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）先化簡

nan-an+1

an+1

=n為：

an+1

an

=

n

n+1

，利用累積法求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）求出b_n，利用錯位相減法和等比數(shù)列的前n項和求出T_n．

解答： 解：（1）由

nan-an+1

an+1

=n得，na_n-a_n+1=na_n+1，
則

an+1

an

=

n

n+1

，當n≥2時，
所以

a2

a1

=

1

2

，

a3

a2

=

2

3

，

a4

a3

=

3

4

，…，

an

an-1

=

n-1

n

，
以上（n-1）個式子相乘得，

an

a1

=

1

n

，
又a₁=1，則an=

1

n

；
（2）由（1）得，b_n=

2n

an

=n•2ⁿ，
則T_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②，
①-②得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
所以T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評：本題考查等比數(shù)列的前n項和公式，累積法求數(shù)列的通項公式，錯位相減法求數(shù)列的前n項和，屬于中檔題．