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8.定義在(0,π)上的函數(shù)y=f(x)滿足f′(x)<f(x)•cotx,則下列不等式錯誤的是(  )
A.sin1•f(12)>sin12•f(1)B.12•f(12)>sin12•f(π6
C.sin2•f(1)>sin1•f(2)D.f(π3)>3f(π6

分析 構(gòu)造函數(shù)g(x)=fxsinx,求出g(x)的單調(diào)性,從而判斷函數(shù)值的大小即可.

解答 解:令g(x)=fxsinx,則g′(x)=fxsinxfxcosxsin2x,
由f′(x)<f(x)•cotx得:f′(x)sinx-f(x)cosx<0,
∴g′(x)<0在(0,π)恒成立,g(x)在(0,π)遞減,
∴g(12)>g(1),A正確,g(12)>g(π6),B正確,
g(1)>g(2),C正確,g(π3)<g(π6),D錯誤,
故選:D.

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,構(gòu)造函數(shù)g(x)=fxsinx,求出g(x)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵,本題是一道中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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(2)設(shè)bn=1nan,求{bn}的前n項和Tn

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變式:已知數(shù)列{an}中a1=2,an+1=2an3,n∈N*,則{an}的通項公式為an=2123n1

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12.如圖,在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長為2的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=SA=SC,M為AB的中點.
(Ⅰ)證明:AC⊥SB;
(Ⅱ)求點B到平面SCM的距離.

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