Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，直線過原點且傾斜角為.以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與曲線關(guān)于直線對稱.

（Ⅰ）求曲線的極坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）若直線過原點且傾斜角為，設(shè)直線與曲線相交于，兩點，直線與曲線相交于，兩點，當(dāng)變化時，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)法一：將化為直角坐標(biāo)方程，根據(jù)對稱關(guān)系用上的點表示出上點的坐標(biāo)，代入方程得到的直角坐標(biāo)方程，再化為極坐標(biāo)方程；法二：將化為極坐標(biāo)方程，根據(jù)對稱關(guān)系將上的點用上的點坐標(biāo)表示出來，代入極坐標(biāo)方程即可得到結(jié)果；(Ⅱ)利用和的極坐標(biāo)方程與的極坐標(biāo)方程經(jīng)坐標(biāo)用表示，將所求面積表示為與有關(guān)的三角函數(shù)解析式，通過三角函數(shù)值域求解方法求出所求最值.

(Ⅰ)法一：由題可知，的直角坐標(biāo)方程為：，

設(shè)曲線上任意一點關(guān)于直線對稱點為，

所以

又因為，即，

所以曲線的極坐標(biāo)方程為：

法二：由題可知，的極坐標(biāo)方程為： ，

設(shè)曲線上一點關(guān)于 的對稱點為，

所以

又因為，即，

所以曲線的極坐標(biāo)方程為：

(Ⅱ)直線的極坐標(biāo)方程為：，直線的極坐標(biāo)方程為：

設(shè)，

所以解得，解得

因為：，所以

當(dāng)即時，，取得最大值為：