【題目】如圖，在三棱錐PABC中，底面ABC，，，，D，E分別是AC，PC的中點，F是PB上一點，且，M為PA的中點，二面角的大小為45°.

（1）證明：平面AEF；

（2）求直線AF與平面BCM所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接PD交AE于點O，因為D，E分別是AC，PC的中點，則點O是的重心，所以，連接OF，又，所以，從而可證明結(jié)論.
（2）由題意可證得即二面角的平面角，即，可得，則，得到，又由題意易知，CA，CB，CP兩兩垂直，故以C為坐標(biāo)原點，直線CA，CB，CP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解線面角.

解：（1）連接PD交AE于點O，因為D，E分別是AC，PC的中點，

所以點O是的重心，所以.

連接OF，又，所以，則.

又平面AEF，平面AEF，所以平面AEF.

（2）因為底面ABC，平面ABC，所以.又，，

所以平面PAC.所以，又，所以即二面角的平面角，

所以，連接MD，易得，則，所以.

由題意易知，CA，CB，CP兩兩垂直，故以C為坐標(biāo)原點，直線CA，CB，CP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

所以，，

所以，，.

設(shè)平面BCM的法向量為，則，得，得，

令，則，所以為平面BCM的一個法向量.

設(shè)直線AF與平面BCM所成的角為.

則

故直線AF與平面BCM所成角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某市數(shù)學(xué)教研室對全市2018級15000名的高中生的學(xué)業(yè)水平考試的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行調(diào)研，隨機選取了200名高中生的學(xué)業(yè)水平考試的數(shù)學(xué)成績作為樣本進(jìn)行分析，將結(jié)果列成頻率分布表如下：

數(shù)學(xué)成績

頻數(shù)

頻率

5

0.025

15

0.075

50

0.25

70

0.35

45

0.225

15

0.075

合計

200

1

根據(jù)學(xué)業(yè)水平考試的數(shù)學(xué)成績將成績分為“優(yōu)秀”、“合格”、“不合格”三個等級，其中成績大于或等于80分的為“優(yōu)秀”，成績小于60分的為“不合格”，其余的成績?yōu)椤昂细瘛?/span>.

（1）根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)，估計全市學(xué)業(yè)水平考試的數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)、中位數(shù)（精確到0.1）；

（2）市數(shù)學(xué)教研員從樣本中又隨機選取了名高中生的學(xué)業(yè)水平考試的數(shù)學(xué)成績，如果這名高中生的學(xué)業(yè)水平考試的數(shù)學(xué)成績的等級情況恰好與按照三個等級分層抽樣所得的結(jié)果相同，求的最小值；

（3）估計全市2018級高中生學(xué)業(yè)水平考試“不合格”的人數(shù).

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（1）若，求這批產(chǎn)品能夠通過檢查的概率；

（2）已知每件產(chǎn)品質(zhì)檢費用為50元，若，設(shè)對這批產(chǎn)品的質(zhì)檢個數(shù)記作，求的分布列；

（3）在（2）的條件下，已知1000批此類產(chǎn)品，若，則總平均檢查費用至少需要多少元？（總平均檢查費用每批次平均檢查費用批數(shù)）

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（1）如圖，斑馬線的內(nèi)側(cè)連線構(gòu)成正方形，儀器在點處，儀器在上距離點處，試判斷儀器是否在儀器的“盲區(qū)”中，并說明理由；

（2）如圖，斑馬線的內(nèi)側(cè)連線構(gòu)成正方形，儀器從點出發(fā)向點移動，同時儀器從點出發(fā)向點移動，在這個移動過程中，儀器在儀器的“盲區(qū)”中的時長為多少？

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