Question

設(shè)數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項和為，若，.

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)對于正整數(shù))，求證：“且”是“這三項經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列”成立的充要條件；

(3)設(shè)數(shù)列滿足：對任意的正整數(shù)，都有，且集合中有且僅有3個元素，試求的取值范圍.

Answer 1

 解：(1)數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，

又，，，；

(2)(ⅰ)必要性：設(shè)這三項經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，

①若，則，，，

.                         ②若，則，，左邊為偶數(shù)，等式不成立，

③若，同理也不成立，

綜合①②③，得，所以必要性成立.                         

(ⅱ)充分性：設(shè)，，

則這三項為，即，調(diào)整順序后易知成等差數(shù)列，所以充分性也成立.

綜合(ⅰ)(ⅱ)，原命題成立.

(3)因為，

即，(*)

當(dāng)時，，(**)

則(**)式兩邊同乘以2，得，(***)

(*)－(***)，得，即，

又當(dāng)時，，即，適合，，，

時，，即；

時，，此時單調(diào)遞減，

又，，，，.