Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠APD=90°，PA=PD=AB=a，ABCD是矩形，E是PD的中點．

（1）求證：PB⊥AC．
（2）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設AD中點為F連接BF、PF．

∵PA=PD=AB=a，∴ ，

∴ ．

∴△ABC∽△FAB，∴AC⊥BF，

又∵PF⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD．

平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PF⊥面ABC，∴PF⊥AC，

∴AC⊥平面PBF，AC⊥PB．

（2）解：（2）過E作EH∥PF，EH交AD于H，

過H作HO⊥AC，交AC于O，連接EO．

由（1）知EH⊥面ACD，HO⊥AC，

∴∠EOH為二面角E﹣AC﹣D的平面角

．

．

∴ ．

∴二面角E﹣AC﹣D的正切值為 ．

【解析】（1）設AD中點為F，連接BF、PF，推導出△ABC∽△FAB，從而AC⊥BF，推導出PF⊥AC，由此能證明AC⊥PB．（2）過E作EH∥PF，EH交AD于H，過H作HO⊥AC，交AC于O，連接EO，則∠EOH為二面角E﹣AC﹣D的平面角，由此能求出二面角E﹣AC﹣D的正切值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的性質的相關知識，掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行．