Question

設(shè)函數(shù)F（x）=x²-2lnx-ax（a≠0），其導(dǎo)函數(shù)F′（x），若函數(shù)F（x）的圖象交x軸于C（x₁，0），D（x₂，0）兩點且線段CD的中點N（x₀，0），問x₀是否為F′（x）=0的根，請說明理由．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的運算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由于f（x）的圖象與x軸交于兩個不同的點A（x₁，0），B（x₂，0），可得方程2lnx-x²+ax=0的兩個根為x₁，x₂，得到a=(x1+x2)-

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

．化簡F′（x）=2x-

2

x

-a．經(jīng)過變形換元再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性證明F′（x₀）=0是否成立即可．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）的圖象與x軸交于兩個不同的點A（x₁，0），B（x₂，0），2lnx-x²+ax=0的兩個根為x₁，x₂，
則

x12-2lnx1-ax1=0 x22-2lnx2-ax2=0

，兩式相減得a=(x1+x2)-

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

，
F（x）=x²-2lnx-ax，F(xiàn)′（x）=2x-

2

x

-a，
則F′(

x1+x2

2

)=(x1+x2)-

4

x1+x2

-a=(x1+x2)-

4

x1+x2

-(x1+x2)+

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

=-

4

x1+x2

+

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

．
下解-

4

x1+x2

+

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

=0（*），即

2(x2-x1)

x1+x2

-ln

x1

x2

=0，
令t=

x1

x2

，∵0＜x₁＜x₂，∴0＜t＜1，
即u（t）=

2(1-t)

t+1

-lnt=0在0＜t＜1上成立．
∵u′（t）=

-2(t+1)-2(1-t)

(t+1)2

-

1

t

=-

1

t

-

4

(t+1)2

，
又0＜t＜1，
∴u′（t）＜0，
∴u（t）在（0，1）上是減函數(shù)，則u（t）＞u（1）=0，從而知 -

4

x1+x2

+

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

＞0，
故（*）式＞0，即F′（x）=0不成立．
x₀不是F′（x）=0的根．

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想和計算能力，屬于難題