Question

已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，點P（a_n，2a_n+1）（n∈N^*）在直線x-

1

2

y+1=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=2ⁿa_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）確定數(shù)列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）先求出數(shù)列{b_n}的通項，由于該數(shù)列的通項是一個等差數(shù)列與等比數(shù)列的積構(gòu)成的新數(shù)列，利用錯位相減法求出數(shù)列的和．

解答： 解：（1）∵點P（a_n，2a_n+1）（n∈N^*）在直線x-

1

2

y+1=0上，
∴a_n+1-a_n=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
∴通項公式a_n=n；
（2）b_n=2ⁿa_n=n•2ⁿ．
T_n=1×2+2×2²+3×2³…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
∴2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ，
則T_n=（n-2）•2ⁿ+2．

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列，以及錯位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．