Question

根據(jù)下列條件，寫(xiě)出橢圓方程：
（1）中心在原點(diǎn)、以對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸、離心率為

1

2

、長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8；
（2）和橢圓9x²+4y²=36有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-3）；
（3）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，從一個(gè)焦點(diǎn)看短軸兩端的視角為直角，焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸上較近頂點(diǎn)的距離是

10

-

5

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

c a = 1 2 2a=8

，由此分橢圓焦點(diǎn)在x軸和焦點(diǎn)在y軸兩種情況，能求出橢圓方程．
（2）由已知條件設(shè)所求橢圓方程為

x2

a2-5

+

y2

a2

=1，把（2，-3）代入，能求出橢圓方程．
（3）由已知條件設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），且

b=c a-c= 10 - 5 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．

解答： 解：（1）∵橢圓的中心在原點(diǎn)、以對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，
離心率為

1

2

，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，
∴

c a = 1 2 2a=8

，
解得a=4，c=2，
∴b²=16-4=12，
∴當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸時(shí)，橢圓方程為：

x2

16

+

y2

12

=1；
當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸時(shí)，橢圓方程為：

x2

12

+

y2

16

=1．
（2）橢圓9x²+4y²=36化為標(biāo)準(zhǔn)方程：

x2

4

+

y2

9

=1，
∴由題意知所求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（0，-

5

），F(xiàn)₂（0，

5

），
設(shè)所求橢圓方程為

x2

a2-5

+

y2

a2

=1，
把（2，-3）代入，得：

4

a2-5

+

9

a2

=1，
整理，得a⁴-18a²+45=0，
解得a²=15或a²=3（舍），
∴所求橢圓方程為

x2

13

+

y2

18

=1．
（3）由已知條件設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
且

b=c a-c= 10 - 5 a2=b2+c2

，解得a=

10

，b=c=

5

，
∴所求的橢圓方程為

x2

10

+

y2

5

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意待定系數(shù)法的合理運(yùn)用．