Question

（2013•江門一模）已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，若?n∈N^*，a_n•a_n+1=-2，則a_n=

1，n是正奇數(shù) -2，n是正偶數(shù)

．

Answer 1

分析：由給出的遞推式，取n=n+1得另一個式子，兩式作比后可得：

an+2

an

=1 （n∈N^*），由此可得數(shù)列的所有奇數(shù)項構成常數(shù)列，所有偶數(shù)項構成常數(shù)列，則數(shù)列的通項公式可求．

解答：解：數(shù)列{a_n}中，由a_n•a_n+1=-2①，得：a_n+1•a_n+2=-2②，
②÷①得：

an+2

an

=1 （n∈N^*），
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構成以1為公比的等比數(shù)列，
由a₁=1，且a_n•a_n+1=2，得：a2=

-2

a1

=-2．
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為an=

1  (n為正奇數(shù)) -2(n為正偶數(shù))

．
故答案為

1  (n為正奇數(shù)) -2(n為正偶數(shù))

．

點評：本題考查了數(shù)列的遞推式，考查了由遞推式求數(shù)列的通項公式，由數(shù)列的遞推式求通項公式時，替換n的取值，由已知遞推式得另一遞推式，然后兩式聯(lián)立是求解該類問題常用的方法，此題是中檔題．