Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的離心率為

2

，點F為雙曲線C的右焦點，過F作傾斜角為60°的直線交C于A、B兩點，且

AF

=λ

FB

．則實數(shù)λ=

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：分別過A，B作AD⊥l，BC⊥l，垂足分別為D，C（l為雙曲線的右準(zhǔn)線），過B作BE⊥AD，垂足為E，由直線AB的傾斜角為60°，則∠ABE=30°，設(shè)BF=t，則可得AF=λt，AE=

1

2

AB，再由雙曲線的第二定義可知AE=AD-BC，代入計算即可得到λ．

解答： 解：分別過A，B作AD⊥l，BC⊥l，
垂足分別為D，C（l為雙曲線的右準(zhǔn)線），
過B作BE⊥AD，垂足為E，
∵直線AB的傾斜角為60°，則∠ABE=30°
設(shè)BF=t，則由

AF

=λ

FB

，可得AF=λt，
AB=AF+BF=（λ+1）t，
Rt△ABE中，AE=

1

2

AB=

1

2

（λ+1）t，
由雙曲線的定義可知，

AF

AD

=e=

2

，

BF

BC

=e=

2

，
∵AE=AD-DE=AD-BC=

2

2

（AF-BF）=

2

2

（λt-t）=

1

2

（λ+1）t，
∴λ=3+2

2

．
故答案為：3+2

2

．

點評：本題考查雙曲線的第二定義的應(yīng)用及直線與雙曲線的相交關(guān)系的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用第二定義．