Question

13．如圖，四棱錐P-ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB與△PAD 都是邊長為2的等邊三角形，E 是BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：平面AE∥平面 PCD；
（Ⅱ）求PAB與平面 PCD 所成二面角的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AD∥CE，且AD=CE，推出AE∥CD，然后證明AE∥平面 PCD；
（Ⅱ）連接DE，BD，證明AE⊥BD，PO⊥BD，PO⊥AO，PO⊥平面ABCD，建立坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面PAB的法向量，平面PCD的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解平面PAB與平面 PCD 所成二面角的大小．

解答 解：（Ⅰ）證明：，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，E 是BC的中點(diǎn)．
所以AD∥CE，且AD=CE
所以四邊形ADCE是平行四邊形，
所以AE∥CD，
AE?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AE∥平面 PCD；
（Ⅱ）連接DE，BD，設(shè)AE∩BD=O，連接PO，則四邊形ABED是正方形，所以AE⊥BD，
因?yàn)�，△PAB與△PAD 都是邊長為2的等邊三角形，PD=PB=2，O是BD的中點(diǎn) 所以PO⊥BD，
則PO=$\sqrt{P{B}^{2}-O{B}^{2}}=\sqrt{2}$，又OA=$\sqrt{2}$，PA=2，所以PO⊥AO，
因?yàn)锽D∩AE=O，所以PO⊥平面ABCD，
建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則P（0，0，$\sqrt{2}$），A（$-\sqrt{2}$，0，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），E（$\sqrt{2}，0，0$），D（0，-$\sqrt{2}，0$），
所以$\overrightarrow{PA}$=（$-\sqrt{2}，0，\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PB}=（0，\sqrt{2}，-\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{PD}=（0，-\sqrt{2}，-\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{AE}$=（$2\sqrt{2}，0，0$），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面PAB的法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}x-\sqrt{2}z=0}\\{\sqrt{2}y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，令x=1，則$\overrightarrow{n}$=（0，-1，-1）．
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面PCD的法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}y-\sqrt{2}z=0}\\{2\sqrt{2}x=0}\end{array}\right.$，
令y=1，則$\overrightarrow{m}$=（0，1，-1）．
所以cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}$=0．
所以平面PAB與平面 PCD 所成二面角的大小為90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．