Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-9x+1，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　　）

• A、?x₀∈R，f（x₀）=0
• B、“a=3”是“-3為f（x）的極大值點(diǎn)”的充分不必要條件
• C、若x₀是f（x）的極小值點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間（x₀，+∞）單調(diào)遞增
• D、若3是f（x）的極值點(diǎn)，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，3）

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：f′（x）=3x²+2ax-9，由△＞0，可得f′（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)x₁，x₂是兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x₁＜x₂．
則函數(shù)f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）單調(diào)遞增；在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減．即可判斷出A，C是否正確．
對(duì)于D：若3是f（x）的極值點(diǎn)，可得f′（3）=0，a=-3，則f′（x）=3（x+1）（x-3），即可判斷出．
對(duì)于B．a(chǎn)=3時(shí)，f′（x）=3（x-1）（x+3）?-3為f（x）的極大值點(diǎn)．

解答： 解：f′（x）=3x²+2ax-9，∵△=4a²+108＞0，∴f′（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
設(shè)x₁，x₂是兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x₁＜x₂．
則函數(shù)f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）單調(diào)遞增；在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減．
可得A，C正確．
對(duì)于D：若3是f（x）的極值點(diǎn)，f′（3）=0，解得a=-3，則f′（x）=3（x+1）（x-3），
可得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，3），正確．
對(duì)于B．a(chǎn)=3時(shí)，f′（x）=3（x-1）（x+3），可得-3為f（x）的極大值點(diǎn)，
因此“a=3”是“-3為f（x）的極大值點(diǎn)”的充要條件．
綜上可得：只有B是錯(cuò)誤的．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、充要條件的判定，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．