Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓C的圓心的極坐標(biāo)為（

2

，

π

4

），半徑r=

2

，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（2，π），過(guò)P作直線l交圓C于A，B兩點(diǎn)．
（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

可把圓C的圓心的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，即可得出圓的直角坐標(biāo)方程．
（2）點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（2，π），化為直角坐標(biāo)P（-2，0）．當(dāng)直線l與圓C相切于等D時(shí)，則|PD|²=|PC|²-r²．利用切割線定理可得|PA|•|PB|=|PD|²．

解答： 解：（1）圓C的圓心的極坐標(biāo)為C（

2

，

π

4

），
∴x=

2

sin

π

4

=1，y=

2

cos

π

4

=1，
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+（y-1）²=2．
（2）點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（2，π），化為直角坐標(biāo)P（-2，0）．
當(dāng)直線l與圓C相切于等D時(shí)，則|PD|²=|PC|²-r²=（-2-1）²+（0-1）²-(

2

)2=8．
∴|PA|•|PB|=|PD|²=8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、圓的方程、切割線定理，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．