Question

在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知圓C的圓心的極坐標為（

2

，

π

4

），半徑r=

2

，點P的極坐標為（2，π），過P作直線l交圓C于A，B兩點．
（1）求圓C的直角坐標方程；
（2）求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

考點：點的極坐標和直角坐標的互化

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

可把圓C的圓心的極坐標化為直角坐標，即可得出圓的直角坐標方程．
（2）點P的極坐標為（2，π），化為直角坐標P（-2，0）．當直線l與圓C相切于等D時，則|PD|²=|PC|²-r²．利用切割線定理可得|PA|•|PB|=|PD|²．

解答： 解：（1）圓C的圓心的極坐標為C（

2

，

π

4

），
∴x=

2

sin

π

4

=1，y=

2

cos

π

4

=1，
∴圓C的直角坐標方程為（x-1）²+（y-1）²=2．
（2）點P的極坐標為（2，π），化為直角坐標P（-2，0）．
當直線l與圓C相切于等D時，則|PD|²=|PC|²-r²=（-2-1）²+（0-1）²-(

2

)2=8．
∴|PA|•|PB|=|PD|²=8．

點評：本題考查了極坐標化為直角坐標、圓的方程、切割線定理，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．