Question

設定義在R上的函數f（x）滿足f（1）=1，f′（x）＞

1

3

，其中f′（x）是f（x）的導函數，則不等式
f（x³）＜

1

3

x³+

2

3

的解集為

 

．

Answer 1

考點：導數的運算

專題：計算題,導數的概念及應用

分析：確定函數g（x）=f（x）-

1

3

x在R上是增函數，不等式f（x³）＜

1

3

x³+

2

3

，轉化為g（x³）＜g（1），即可得出結論．

解答： 解：∵f′（x）＞

1

3

，
∴[f（x）-

1

3

x]′＞0，
∴函數g（x）=f（x）-

1

3

x在R上是增函數，
∴g（x³）=f（x³）-

1

3

x³；
∵不等式f（x³）＜

1

3

x³+

2

3

，
∴g（x³）＜

2

3

，
∵f（1）=1，g（1）=f（1）-

1

3

=

2

3

，
∴g（x³）＜g（1），
∴x³＜1，
∴x＜1，
∴則不等式f（x³）＜

1

3

x³+

2

3

的解集為（-∞，1）．
故答案為：（-∞，1）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，正確構建函數是關鍵．