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2.在數(shù)列{an}中,an>0,a1=12,如果an+1是1與2anan+1+14an2的等比中項(xiàng),那么a1+a222+a332+a442+…+a1001002的值是100101

分析 an+1是1與2anan+1+14an2的等比中項(xiàng),可得a2n+1=2anan+1+14an2,an>0,a1=12,化為:anan+1+1=2an+1,化為1an+11-1an1=-1,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得:解得an.可得ann2=1n1n+1.再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出.

解答 解:∵an+1是1與2anan+1+14an2的等比中項(xiàng),
a2n+1=2anan+1+14an2,an>0,a1=12
化為:anan+1+1=2an+1,
化為1an+11-1an1=-1,
∴數(shù)列{1an1}是等差數(shù)列,首項(xiàng)為-2,公差為-1.
1an1=-2-(n-1)=-n-1,
解得an=1-1n+1=nn+1
ann2=1nn+1=1n1n+1
∴a1+a222+a332+a442+…+a1001002=112+1213+…+11001101
=1-1101
=100101

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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