Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且滿足遞推關(guān)系a_n+1=（m∈N^*）
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（2）當(dāng)m∈N^*時(shí)，數(shù)列{a_n}滿足不等式a_n+1≥a_n恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）m=1，由，n∈N^*，
得：，
a_n+1+1=2（a_n+1），
∴{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，公比也是2的等比例數(shù)列．
于是a_n+1=2•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ-1．
（2）由a_n+1≥a_n，a₁=1，知a_n＞0，
∴，
即m≥-a_n²-2a_n，
依題意，有m≥-（a_n+1）²+1恒成立．
∵a_n≥1，
∴m≥-2²+1=-3，
即滿足題意的m的取值范圍是[-3，+∞）．
分析：（1）m=1，由，n∈N^*，得：a_n+1+1=2（a_n+1），由此能夠求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n．
（2）由a_n+1≥a_n，a₁=1，知a_n＞0，所以，依題意，有m＞-（a_n+1）²+1恒成立．由此能求出滿足題意的m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項(xiàng)，結(jié)合含兩個(gè)變量的不等式的處理問(wèn)題，用兩邊夾的方法確定整數(shù)參數(shù)．第Ⅲ小題對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定，本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．