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8.(Ⅰ)求函數(shù)y=2sinx+3的定義域.
(Ⅱ)已知sin({540°}+α)=-\frac{4}{5},α為第二象限角.分別求cos(α-270°)及\frac{{{{[sin({{180}°}-α)+cos({{360}°}-α)]}^2}}}{{tan({{180}°}+α)}}
的值.

分析 (Ⅰ)由題意可得2sinx+\sqrt{3}≥0,解得-\frac{π}{3}+2kπ≤x≤\frac{4π}{3}+2kπ(k∈Z),從而可求定義域.
(Ⅱ)由已知利用誘導(dǎo)公式可得sinα=\frac{4}{5},利用誘導(dǎo)公式可得cos(α-270°)的值,根據(jù)角的范圍,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosα,利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)所求即可計(jì)算得解.

解答 解:(Ⅰ)由題意可得:2sinx+\sqrt{3}≥0,即sinx≥-\frac{{\sqrt{3}}}{2},
解得(圖象法或單位圓法):-\frac{π}{3}+2kπ≤x≤\frac{4π}{3}+2kπ(k∈Z),
∴所求定義域?yàn)閇-\frac{π}{3}+2kπ,\frac{4π}{3}+2kπ](k∈Z)
(Ⅱ)由已知sin({540°}+α)=-\frac{4}{5},可得sinα=\frac{4}{5},
∴cos(α-270°)=-sinα=-\frac{4}{5},
又∵α為第二象限角,
cosα=-\frac{3}{5},
于是:\frac{{{{[sin({{180}°}-α)+cos({{360}°}-α)]}^2}}}{{tan({{180}°}+α)}}=\frac{{{{(sinα+cosα)}^2}}}{tanα}=-\frac{3}{100}

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)定義域及其求法,考查了誘導(dǎo)公式,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求m、n以及r的值;
(2)設(shè)點(diǎn)P(2,-1),探究在直線y=-1上是否存在一點(diǎn)B(異于點(diǎn)P),使得對(duì)于圓C上任意一點(diǎn)T到P,B兩點(diǎn)的距離之比\frac{{|{TB}|}}{{|{TP}|}}=k(k為常數(shù)).若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)B坐標(biāo)以及常數(shù)k的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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