（1）已知a＞b＞c，且a+b+c=0，求證：
b2-ac
a
＜
3
；
（2）若不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
＞
a
24
對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并用數(shù)學(xué)歸納法證明此時的不等式．
分析：（1）a＞b＞c，a+b+c=0⇒a＞0，b=-（a+c），（a-b）（a-c）＞0，將b=-（a+c）代入（a-b）（a-c）＞0整理即可證得結(jié)論；
（2）先計算n=1時的情形，猜測a的值，再用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
解答：（1）證明：∵a＞b＞c，
∴（a-b）（a-c）＞0①，又a+b+c=0，故a＞0，
∴b=-（a+c）代入①得
（2a+c）（a-c）＞0，即2a2-ac-c2＞0，
∴a2+ac+c2＜3a2，（1）
又a2+ac+c2=(a+
c
2
)2+
3c2
4
≥0，②
（1）式兩邊開方得：
a2+ac+c2
＜
3
a，a＞0，
∴
a2+ac+c2
a
＜
3
，即
(a+c)2-ac
a
＜
3
，而b=-（a+c），
∴
b2-ac
a
＜
3
．
（2）證明：當(dāng)n=1時，
1
1+1
+
1
1+2
+
1
1+3
=
26
24
＞
a
24
，
∴a＜26，又a∈N*，
∴取a=25，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
＞
25
24
．，
①當(dāng)n=1時，已證；
②假設(shè)當(dāng)n=k時，
1
k+1
+
1
k+2
+…+
1
3k+1
＞
25
24
成立，
則當(dāng)n=k+1時，有
1
(k+1)+1
+
1
(k+1)+2
+…+
1
3k+1
+
1
3k+2
+
1
3k+3
+
1
3(k+1)+1

=（
1
k+1
+
1
k+2
+…+
1
3k+1
）+（
1
3k+2
+
1
3k+3
+
1
3k+4
-
1
k+1
）
＞
25
24
+
1
3k+2
+
1
3k+4
-
2
3(k+1)
，
∵
1
3k+2
+
1
3k+4
-
2
3(k+1)
=
2
3(k+1)(3k+2)(3k+4)
＞0，
∴
1
(k+1)+1
+
1
(k+1)+2
+…+
1
3k+1
+
1
3k+2
+
1
3k+3
+
1
3(k+1)+1
＞
25
24
成立；
由①②可知，對一切n∈N*，都有不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
＞
25
24
成立．　
∴a的最大值為25．
點評：本題考查不等式的證明，著重考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，突出運算與推理能力的考查，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知a，b，c為實數(shù)，證明a，b，c均為正數(shù)的充要條件是
a+b+c＞0
ab+bc+ca＞0
abc＞0
；
（2）已知方程x3+px2+qx+r=0的三根α，β，γ都是實數(shù)，證明α，β，γ是一個三角形的三邊的充要條件是
p＜0，q＞0，r＜0
p3＞4pq-8r
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知a，b，c∈R，且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥
1
3
；
（2）a，b，c為互不相等的正數(shù)，且abc=1，求證：
1
a
+
1
b
+
1
c
＞
a
+
b
+
c
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知a，b，c均為實數(shù)，求證：a2+b2+c2≥
1
3
(a+b+c)2．
（2）若a，b，c均為實數(shù)，且a=x2-2y+
1
3
，b=y2-2z+3，c=z2-2x+
1
6
．求證：a，b，c中至少有一個大于0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知a，b，c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a2+b2+c2＞ab+bc+ca；
（2）設(shè)a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c=1，求證(
1
a
-1)(
1
b
-1)(
1
c
-1)≥8．

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