（1）已知a，b，c∈R，且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥
1
3
；
（2）a，b，c為互不相等的正數(shù)，且abc=1，求證：
1
a
+
1
b
+
1
c
＞
a
+
b
+
c
．
分析：（1）利用條件a+b+c=1，兩邊平方，利用基本不等式，即可證得結(jié)論．
（2）根據(jù)條件可化為
1
a
+
1
b
+
1
c
=bc+ac+ab=
bc+ac
2
+
ac+ab
2
+
ab+bc
2
或者
a
+
b
+
c
=
1
bc
+
1
ac
+
1
ab
，應(yīng)用基本不等式即可證得結(jié)論．
解答：證明　（1）∵a+b+c=1，∴（a+b+c）2=1，
由a2+b2≥2ab得
a2+b2+c2=
1
3
（a2+b2+b2+c2+c2+a2+a2+b2+c2）
≥
1
3
（a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac）
=
1
3
（a+b+c）2=
1
3
．
（2）法一　由左式推證右式
∵abc=1，且a，b，c為互不相等的正數(shù)，
∴
1
a
+
1
b
+
1
c
=bc+ac+ab=
bc+ac
2
+
ac+ab
2
+
ab+bc
2

＞
bc•ac
+
ac•ab
+
ab•bc
（基本不等式）
=
c
+
a
+
b
．
∴
1
a
+
1
b
+
1
c
＞
a
+
b
+
c
．
法二　由右式推證左式
∵a，b，c為互不相等的正數(shù)，且abc=1，
∴
a
+
b
+
c
=
1
bc
+
1
ac
+
1
ab

＜
1
b
+
1
c
2
+
1
a
+
1
c
2
+
1
a
+
1
b
2
（基本不等式）=
1
a
+
1
b
+
1
c
．
點(diǎn)評：本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知a，b，c為實(shí)數(shù)，證明a，b，c均為正數(shù)的充要條件是
a+b+c＞0
ab+bc+ca＞0
abc＞0
；
（2）已知方程x3+px2+qx+r=0的三根α，β，γ都是實(shí)數(shù)，證明α，β，γ是一個(gè)三角形的三邊的充要條件是
p＜0，q＞0，r＜0
p3＞4pq-8r
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知a＞b＞c，且a+b+c=0，求證：
b2-ac
a
＜
3
；
（2）若不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
＞
a
24
對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并用數(shù)學(xué)歸納法證明此時(shí)的不等式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知a，b，c均為實(shí)數(shù)，求證：a2+b2+c2≥
1
3
(a+b+c)2．
（2）若a，b，c均為實(shí)數(shù)，且a=x2-2y+
1
3
，b=y2-2z+3，c=z2-2x+
1
6
．求證：a，b，c中至少有一個(gè)大于0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知a，b，c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a2+b2+c2＞ab+bc+ca；
（2）設(shè)a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c=1，求證(
1
a
-1)(
1
b
-1)(
1
c
-1)≥8．

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