將完全相同的3個球隨機地放入1,2,3號盒子中(每盒放球數(shù)不限),求:
(1)3個球放入同一個盒子的概率;
(2)3個盒子中都有球的概率;
(3)至少有一個盒子沒球的概率;
(4)恰有一個盒子沒有球的概率.
分析:由分步乘法原理可知,將完全相同的3個球隨機地放入1,2,3號盒子中,共有33=27種放法,每種放法是等可能的.
(1)事件A“3個球放入同一個盒子”的放法有3種:3個球放入1號盒子,或2號盒子,或3號盒子.利用古典概型的概率計算公式即可得出.
(2)事件B“3個球放入3個盒子,每個盒子中都有球”,等價于每個盒子只放1個球,有
A
3
3
種方法.利用古典概型的概率計算公式即可得出.
(3)事件C“3個球放入3個盒子,至少有一個盒子沒球”與事件B是對立事件,利用對立事件的概率計算公式即可得出.
(4)事件D“3個球放入3個盒子,恰有一個盒子沒有球”與事件D,A的關系是:C=D+A,并且事件D和A是互斥事件,利用互斥事件的概率計算公式即可得出.
解答:解:由分步乘法原理可知,將完全相同的3個球隨機地放入1,2,3號盒子中,共有33=27種放法,每種放法是等可能的.
(1)記“3個球放入同一個盒子的概率”為事件A.
3個球放入同一個盒子的放法有3種:3個球放入1號盒子,或2號盒子,或3號盒子.
P(A)=
3
27
=
1
9

(2)記“3個球放入3個盒子,每個盒子中都有球”為事件B.
3個球放入3個盒子,每個盒子中都有球,等價于每個盒子只放1個球,有
A
3
3
=6種方法.
P(B)=
6
27
=
2
9

(3)記“3個球放入3個盒子,至少有一個盒子沒球”為事件C.
因為事件C是事件B的對立事件,所以P(C)=1-P(B)=1-
2
9
=
7
9

(Ⅳ)記“3個球放入3個盒子,恰有一個盒子沒有球”為事件D.由題意可知,C=D+A.
因為事件D和A是互斥事件,所以P(C)=P(D)+P(A),P(D)=P(C)-P(A)=
7
9
-
1
9
=
2
3
點評:正確理解分步乘法原理、古典概型的概率計算公式、對立事件的概率計算公式、互斥事件的概率計算公式、全排列的意義是解題的關鍵.
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