Question

20．已知命題p：函數(shù)f（x）=x²+ax-2在[-2，2]內有且僅有一個零點．命題q：x²+ax+2≤0在區(qū)間[1，2]內有解．若命題“p且q”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：函數(shù)f（x）=x²+ax-2在[-2，2]內有且僅有一個零點．△＞0，可得f（-2）f（2）≤0，解得a范圍．命題q：x²+ax+2≤0在區(qū)間[1，2]內有解，可得a≤$[-（x+\frac{2}{x}）]_{min}$．由命題“p且q”是假命題，可得p與q都是假命題．即可得出．

解答 解：命題p：函數(shù)f（x）=x²+ax-2在[-2，2]內有且僅有一個零點．
△=a²+8＞0，∴f（-2）f（2）=（2-2a）（2+2a）≤0，解得a≥1，或a≤-1．
命題q：x²+ax+2≤0在區(qū)間[1，2]內有解，∴a≤$[-（x+\frac{2}{x}）]_{min}$=-3．
∵命題“p且q”是假命題，∴p與q都是假命題．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜a＜1}\\{a＞-3}\end{array}\right.$，解得-1＜a＜1．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-1，1）．

點評 本題考查了不等式的解法、函數(shù)的性質、方程的實數(shù)根與判別式的關系、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．