Question

已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，且其縱坐標(biāo)為4，.

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，（）是拋物線上的兩點(diǎn)，∠APB的角平分線與x軸垂直，求△PAB的面積最大時(shí)直線AB的方程.

Answer 1

（1）拋物線的方程為.（2）.

【解析】

試題分析：（1）由拋物線的定義可得一個(gè)關(guān)于點(diǎn)P橫坐標(biāo)及的等式，結(jié)合該點(diǎn)在拋物線上，因此可求得的值，即可得結(jié)論.

（2）由∠APB的角平分線與x軸垂直，可得PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，即PA，PB的斜率互為相反數(shù).通過(guò)假設(shè)直線PA的方程，聯(lián)立拋物線方程可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)PA,PB的斜率關(guān)系即可得對(duì)應(yīng)的得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，由此可得到直線AB的斜率，由此可通過(guò)假設(shè)直線AB的方程聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)兩點(diǎn)公式求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，即可表示出三角形PAB的面積，再結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出最值.

試題解析：（1）設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015071806052872809708/SYS201507180605340719684347_DA/SYS201507180605340719684347_DA.006.png">，由拋物線的定義得，又，

因此，解得，從而拋物線的方程為.

（2）由（1）知點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（2,4），因?yàn)椤螦PB的角平分線與x軸垂直，所以可知PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，即PA，PB的斜率互為相反數(shù).

設(shè)直線PA的斜率為k，則，由題意，

把代入拋物線方程得，該方程的解為4、，

由韋達(dá)定理得，即，同理.

所以，

設(shè)，把代入拋物線方程得，

由題意，且，從而

又，所以，點(diǎn)P到AB的距離，

因此，設(shè),

則，

由知，所以在上為增函數(shù)，因此，

即△PAB面積的最大值為.

△PAB的面積取最大值時(shí)b=0，所以直線AB的方程為.

考點(diǎn)：1. 拋物線的定義及其幾何性質(zhì)；2. 直線與拋物線的位置關(guān)系；3. 直線方程；4.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值.

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 考點(diǎn)2：拋物線的幾何性質(zhì) 試題屬性

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