已知數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,
,
是
與
的等差中項(xiàng)(
).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在正整數(shù),使不等式
恒成立,若存在,求出
的最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1) (2)存在,11
【解析】
試題分析:
(1) 解法一:根據(jù)是
與
的等差中項(xiàng),利用等差中項(xiàng)得到
,(
)①,
當(dāng)時(shí)有
②, 則 ①-②可得
,從而可得數(shù)列通項(xiàng).
解法二: 根據(jù)是
與
的等差中項(xiàng),利用等差中項(xiàng)得到
,(
)①,根據(jù)該式的結(jié)構(gòu)特征,利用構(gòu)造法,可構(gòu)造出等比數(shù)列
,從而求得
,進(jìn)而利用
得到數(shù)列的通項(xiàng).
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論可知,數(shù)列是等比數(shù)列,所以可以得到其前項(xiàng)和;代入
化簡(jiǎn),討論
的奇偶發(fā)現(xiàn),
為奇數(shù)時(shí),恒成立;
為偶數(shù)時(shí),可將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在固定區(qū)間恒成立問(wèn)題,利用單調(diào)性可判斷是否存在這樣的正整數(shù)
.
試題解析:(1)解法一:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721250146113018/SYS201411172125096958616840_DA/SYS201411172125096958616840_DA.002.png">是與
的等差中項(xiàng),
所以(
),即
,(
)①
當(dāng)時(shí)有
②
①-②得,即
對(duì)
都成立
又根據(jù)①有即
,所以
所以. 所以數(shù)列
是首項(xiàng)為1,公比為
的等比數(shù)列.
解法二: 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721250146113018/SYS201411172125096958616840_DA/SYS201411172125096958616840_DA.002.png">是與
的等差中項(xiàng),
所以(
),即
,(
)
由此得(
),
又,所以
(
),
所以數(shù)列是以
為首項(xiàng),
為公比的等比數(shù)列.
得,即
(
),
所以,當(dāng)時(shí),
,
又時(shí),
也適合上式, 所以
.
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論可知,
數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為
的等比數(shù)列,
所以其前項(xiàng)和為
.
原問(wèn)題等價(jià)于(
)①恒成立.
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),不等式左邊恒為負(fù)數(shù),右邊恒為正數(shù),所以對(duì)任意正整數(shù)
不等式恒成立;
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),①等價(jià)于
恒成立,
令,有
,則①等價(jià)于
在
恒成立,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721250146113018/SYS201411172125096958616840_DA/SYS201411172125096958616840_DA.038.png">為正整數(shù),二次函數(shù)的對(duì)稱軸顯然在
軸左側(cè),
所以當(dāng)時(shí),二次函數(shù)為增函數(shù),故只須
,解得
,
,
所以存在符合要求的正整數(shù),且其最大值為11.
考點(diǎn):等差中項(xiàng);利用求通項(xiàng);構(gòu)造等比數(shù)列法;分類(lèi)討論;二次函數(shù)在固定區(qū)間恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2016屆浙江省高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知為等差數(shù)列,若
,則
的值為( ).
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2016屆浙江省溫州市十校聯(lián)合體高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
在中,若
,
,則
的值為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2016屆浙江省高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
在中,邊
所對(duì)角分別為
,若
,
,則
( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2016屆浙江省高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
設(shè),則
( )
A.-85 B.21 C.43 D.171
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2016屆浙江省高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
在
中,內(nèi)角
、
、
所對(duì)的邊分別為
、
、
,給出下列命題:
①若,則
;
②若,則
;
③若,則
有兩解;
④必存在、
、
,使
成立.
其中,正確命題的編號(hào)為 .(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2016屆浙江省高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
在中,已知
,則
是( )
A.直角三角形 B.鈍角三角形
C.銳角三角形 D.最小內(nèi)角大于45°的三角形
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2016屆浙江省高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
關(guān)于的不等式
對(duì)任意
恒成立,則實(shí)數(shù)
的取值范圍是_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2016屆浙江省等三校高一下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且bsinA=acosB.
(1)求角B的大��;
(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.
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