Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1，以右頂點(diǎn)為圓心，實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑的圓被雙曲線的一條漸近線分為弧長(zhǎng)為1：2的兩部分，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A、

  3

• B、

  2 3

  3

• C、

  5

• D、

  5

  2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意知圓的方程為（x+a）²+y²=a²，雙曲線的一條漸近線方程為y=

b

a

x，聯(lián)立

(x+a)2+y2=a2 y= b a x

，得：c²x²+2a³x=0，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：由題意知圓的方程為（x+a）²+y²=a²，
雙曲線的一條漸近線方程為y=

b

a

x，
聯(lián)立

(x+a)2+y2=a2 y= b a x

，
消去y，并整理，得：c²x²+2a³x=0，
設(shè)漸近線與圓交于B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

2a3

c2

，x₁x₂=0，
∵實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑的圓被雙曲線的一條漸近線
分為弧長(zhǎng)為1：2的兩部分，
∴|BC|=

a2+a2-2a2•cos120°

=

3

a，
∴

(1+ b2 a2 )• 4a6 c4

=

3

a，
∴

c2

a2

•

4a6

c4

=3a²，
∴2a=

3

c，∴e=

2

3

=

2 3

3

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率的計(jì)算，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線簡(jiǎn)單性質(zhì)的靈活運(yùn)用．