【題目】已知橢圓C的離心率為，長軸的左、右端點分別為，.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓C交于P，Q兩點，直線，交于S，試問：當(dāng)m變化時，點S是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線的方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由.

【答案】（1）（2）點S恒在定直線l：上,證明見解析

【解析】

（1）設(shè)橢圓C的方程為，可得的值，再根據(jù)，可得的值，由此能求出橢圓C的方程；
（2）取，得，，進而得到直線和直線的方程，聯(lián)立求出他們的交點坐標.若，，由對稱性可知的坐標，若點在同一條直線上，則直線只能為l：，然后證明當(dāng)變化時，點S在直線上.

解：（1）設(shè)橢圓C的方程為，

，，，，

橢圓C的方程為；

（2）取，得，，

直線的方程是，直線的方程是，交點為.

若，，

由對稱性可知，

若點S在同一條直線上，則直線只能為l：.

以下證明對于任意的m，直線與的交點S均在直線l：上，

事實上，由，

得，

記，，

則，，

記與l交于點，

由，得，

設(shè)與交于點，

由，得，

，

，即與重合，

這說明，當(dāng)m變化時，點S恒在定直線l：上.

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